契約期間満了により退職となるのですが、現在66歳なのですが、...

契約期間満了により退職となるのですが、現在66歳なのですが、雇用保険の失業手当が受けられる聞きました。
契約期間満了で退職ですが、会社より次回更新は出来ないので、満了と同時に退職でと言われました。
そして、退職と同時に、離職票にサインをしたのですが、契約更新・延長を希望しない申し出があったに○がついていました。
このままハローワークに持参するとどういった給付制限や待機期間があるのでしょうか。
ちなみに私は、勤続4年、年齢66歳になります。

66歳と言うことで、高年齢求職者ということになります。
給付制限期間はありません、1回の認定日のみで50日分の基本手当日額が一括で支給され、それで終了です。

育児休業で
オーナーが雇用保険に入れる義務を怠ったのと
商工会のミスで
給付金をもらう
事が
できませんでした
それで

商工会の人にも補償してもらうことは可能でしょうか?

可能かどうかは、商工会に対して損害賠償の請求をし、それに応じてくれるか否か、というだけです。
応じなければ裁判でもなんでも行えばいいですが、給付金より費用がかかってしまいますね。

育児休業期間がいつで、申請期間がいつで、いつ手続きを行ったのか・・・。

申立書や顛末書を書けば、申請を受け付けてくれる場合もありますよ？

【補足】
申立書はハローワークです。
商工会はあくまでも、事業主が行うべき手続きを「お手伝い」しているにすぎませんので・・・。

申立書は職安に確認してください。
申立書の書き方を聞くのではなく、「○月△日に事業主に手続きの依頼をしたのに、それを怠って給付を受けられなかったのですが、どうしても給付は受けられないのでしょうか？」と。
申立書はあくまでもそれがあれば例外的に受け付けます、というものであり、こちらから申立書を書くので給付の申請を受け付けてください、ということにはなりません。

新しい技術を身につけるために学校へ行く場合助成金が出るって本当なのでしょうか？それは、退職後の個人にも受給可能なのでしょうか？
数ヵ月後に今の会社を退職予定の者です。まだ申告していないので確定ではありませんが、今の職場に不信感や不満だけでなく精神的に追いこまれている状況が続いていますので丸一年勤めたら辞めるつもりです。
業務内容としてはもう少し深く学び技術を磨きたいという欲が生まれてきましたので、退職後はキャリアアップ出来る技術が習得できる学校へ行き資格を取得し、更に技術を磨ける職場に就職出来ればと考えています。
そこで、新しい技術を身につけるために学校にいく場合、政府の助成金を受けとれる制度があるように耳にしたのですが、それは、退職後の個人にも受給可能なのでしょうか？色々自分で調べてみたのですが、事業主に対しての情報は見つけられたのですが、個人向けは見つけられなかったので質問させて頂きます。
会社を辞めてから学校へ行くつもりなので、お教え頂ければと思います。
宜しく願いいたします。

ハローワークと併設されているジョブカフェと言うところに行ってみてください。39歳までの若者であれば、専門学校への入学と助成金について詳しく教えてくれます。在職中だと助成金はもらえませんが、退職後であればもらえます。またもらえる分野についても限定されていると思われますので、お住まいの地域のジョブカフェに問い合わせてください。